복소 상호 상관(cross correlation), conjugate 하는 이유
Why do we need to conjugate complex signals in autocorrelation and cross correlation
Why is it necessary to conjugate $f(t)$ while performing auto correlation or cross correlation with respect to $g(t)$, if $f(t)$ and $g(t)$ are complex signals?
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일단 상호 상관 식을 보면 다음과 같습니다.
여기서 만약 X,Y 가 복소수라면 둘 중 하나를 conjugate 처리 해서 적용하는데
왜 그럴까요?
복소수 성분은 크기와 위상을 가지고 있습니다.
따라서 상호 상관 식이 최대 값을 가지려면
크기간 곱과 위상간 곱에 의한 값이 최대가 되어야 합니다.
그리고 최대가 되는 값은 동일한 변수를 곱해줄 때에 해당합니다.
이 때 크기가 A, 위상이 θ인 변수 X 에 대해 생각해보겠습니다
conjugate 하지 않고 그냥 곱하면 위상 값은 2*θ 이고 크기는 A^2 입니다.
여기서 위상 값이 2*pi*n 꼴로 나타나야 실수(real) 성분이 최대값을 가지므로
이를 위해 한 부분을 conjugate 하면 우리가 원하는 결과가 나옵니다.
따라서 위의 이유로 복소 상호 상관에서 conjugate 를 하는 것 입니다.
또한 상관관계, 공분산 등의
상관관계를 나타내는 다른 식들에도 동일하게 conjugate 를 적용하는 것을 알 수 있습니다.